Algebren by Prof. Dr. Max Deuring (auth.)

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E e e § 3. Grundkorpererweiterung bei Korpern. Galoissche Theorie. 1. 1}1 sei eine endliche algebraische Erweiterung des Korpers P, als Algebra angesehen. Wir untersuchen den EinfluB einer Erweiterung A des Grundkorpers P auf 1}1. Sat z 1. m:A ist dann und nur dann vollstiindig reduzibel - also direkte Summe von K orpern -, bei jeder Grundkorpererweiterung A, wenn m: separabel uber P ist. ) IV. Einfache Algebren. 38 Beweis. A sei so gewahlt, daB alle irreduziblen Darstellungen von Q{, und daher auch die von Q{A in A den Grad 1 haben - z.

S nur eine irreduzible Darstellung hat. >CSi ' sie sind einander isomorph. Wir konnen die durch dieses Linksideal + ... + m m m m m + ... + 30 III. Darstellungen der Algebren durch Matrizes. gegebene Darstellung auch sofort hinschreiben. Eine einfache Rechnung ergibt, daB die darstellende Matrix A eines Elementes a = L,dik Cik ' dik c'1), von m folgendermaBen gefunden wird: Dem Element dik von '1) werde bei der regular-en Darstellung von '1) (d. i. die durch '1) selbst als Darstellungsmodul gelieferte Darstellung) die Matrix Dik zugeordnet.

Zum Beweis ist nur notig, die entsprechende Zerlegung des Darstellungsmoduls lm der gegebenen Darstellung anzugeben. Wir schreiben jedes lm-Element m in der Form m = em + (m - em). lm ist also die § 2. Darstellungen der Algebren. m 29 Summe des Teilmoduls 1 aller em und des Teilmoduls IDlo aller m - em. Die Summe ist direkt, denn 0 = em (m' - em') hat em = e· em + (em' - e· em') = e· 0 = 0, m' - em' = 0 zur Folge. erzeugt eine Nulldarstellung, denn fUr jedes a aus mist a· (m - em) = ae . (m - em) = a .

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